Математик

¸ñìñ¸ì õðõàð

Хүний оюун ухаан нь бие даасан тусгай чадамжуудаас бүтдэг цогцолбор зүйл юм гэж Америкийн сэтгэл зүйч Х.Гарднер үздэг. Оюун ухаан гэдэг нь бие даасан долоон өөр чадамжийг агуулна. Эдгээр нь бие даасан өөр өөрийн гэсэн онцлог бүхий хэв шинжүүдийг үүсгэдэг. Хэв тус бүр нь нэг хүнд заавал жигд хөгжсөн байх албагүй. Нэг юмуу хоёр шинж нь түлхүү бусад нь ердийн төвшинд хөгжсөн байдаг. Оюун ухааны аль хэв шинж нь давамгайлж байгаагаас шалтгаалан амьдралд дасан зохицох чадвар хүн хүний хувьд харилцан адилгүй байна.


Оюун ухааны бие даасан долоон хэв шинж:

1 Хэл ярианы оюун ухаан
2 Логик математикийн оюун ухаан
3 Орон зайн оюун ухаан
4 Хөгжмийн оюун ухаан
5 Хүмүүс хоорондын харилцааны
6 Дотогш чиллэсэн оюун ухаан
7 Биеийн хөдөлгөөн тэнцвэрийн оюун ухаан
Хэл ярианы оюун ухаан-Өгүүллэг тууж. Ном унших, хошигнол, оньсого таавар, үгийн сүлжээнд дуртай, унших бичих чадвар сайтай, ойлгомжтой сайхан ярьдаг аман хичээлдээ сайн сурагчид
Логик математикийн оюун ухаан -Юмсын эх загвар, цуглуулга болон оюун сорьсон тоглоомд дуртай, тоо бодох, тооцоо шаардсан асуудал шийдвэрлэх, юмыг туршиж үзэх тооны төрлийн хичээлд сайн
Орон зайн оюун ухаан -Зураг зурах урлаж чимэглэх, ажилд дуртай, орон зайн баримжаа сайн, геометрийн мэдрэмж сайтай.
Хөгжмийн оюун ухаан- Дуу дуулах дуртай, хөгжмөөс таашаал авдаг, хөг аялгууг сайн тогтоодог, хөгжим сонсох, нотыг ойлгох, зохиох, хөгжмийн зэмсэг хийх дуртай, аливаа зүйлийг хөгжмийн хэмнэлттэй холбон ойлгох чадвартай
Хүмүүс хоорондын харилцааны оюун ухаан -Хүнтэй амархан нөхөрлөдөг, хүмүүстэй байх дуртай, асуудлыг хамтаараа шийдвэрлэх нь таалагддаг ярьж харилцах зөвлөгөө өгөх дуртай
Дотогш чиглэсэн оюун ухаан -Зөвхөн өөрийнхөө найз нөхдийн дунд байх нь таалагддаг, юмыг дотроо төсөөлөн бодох дуртай, өөрийн гэсэн хатуу мэдрэмж, бодолтой өдрийн тэмдэглэл хөтөлдөг, өөрийн гэсэн хоббитой байх дуртай, төсөл төлөвлөгөө боловсруулах дуртай
Биеийн хөдөлгөөний тэнцвэрийн оюун ухаан- Бүжиг, танц, хөнгөн атлетикт дуртай, биеийн хөдөлгөөн, дохио зангаагаараа мэдээллийг сайн дамжуулдаг, юмыг хөдөлгөж барьж, тэмтэрч үзэх, жүжиглэх дүрд тоглох, юмны тэнцвэрийг олохдоо дуртай

Оюуны чадварын IQ төвөөс “Хүний оюун ухааныг хэмжих 10 коэффицент”-ийг гаргасан байна. Үүнд:
1. IQ-intelligence quotient. Танин мэдэхүйн оюун ухааныг хэмжих суурь ойлголт IQ нь тунгаан бодох, асуудлыг шийдвэрлэх, шинэ материал судлах чадварыг илэрхийлнэ. Өндөр хөгжилтэй орнуудын алдартай корпорациуд ажилтан авахдаа IQ-г нь шалгаж авдаг. Тухайлбал: Дэлхийн програм хангамжийн салбарт тэргүүлж буй Microsoft корпораци 120-с дээш IQ-тай программистыг ажилд авдаг байна. АНУ тэргүүтэй өндөр хөгжсөн орны нэр хүндтэй их сургуулиудад элсэх үндсэн нөхцөл нь оюуны чадварын ерөнхий тестийн (SAT, GRE) босго оноог давах буюу IQ өндөр байх явдал юм. Эрдэмтдийн судалгааны үр дүнд хүн төрөлхтний 0,4% нь 140-өөс дээш IQ-тай буюу сод ухаантай, 0,4% нь 70-аас доош IQ-тэй буюу оюун ухааны хомсдолтой бөгөөд бусад 99.2% нь оюуны чадварын хувьд ерөнхийдөө ижил байдгийг тогтоожээ.
2. EQ-emotional quotient. нь сэтгэл хөдлөл, харилцааны чадварын илтгэцүүр. Зах зээлийн нийгэм нь хүний бүх талын хөгжил, ялангуяа харилцах урлагыг ихээхэн үнэлдэгийг бид мэдэрч эхэлж байна. Нийгмийн харилцааны оюун ухаан гэгддэг EQ нь өөрийн болон бусдын сэтгэлийн хөдөлгөөнийг ойлгох, сэтгэл хөдлөлөө зохистой илэрхийлэх, өөрийгөө урамшуулах, тэвчээртэй байх, үргэлж сэтгэл өөдрөг явах зэрэг цогц чадварыг харуулдаг. EQ өндөртэй хүн өөрийнхөө сэтгэлийн дотоод хөдлөлд автахгүй биеэ барих чадвар эзэмшсэн байх бөгөөд орчинтойгоо зохицон, ажлаа амжилттай явуулж байдаг.
3. AQ-adversity quotient. Бэрхшээлийг даван туулах шаргуу зүтгэл, өөдрөг санаа, зориг эрмэлзлийг харуулдаг илтгэцүүр-AQ. AQ муутай хүн аливаа гэнэтийн явдалд амархан цочирдож, сэтгэлийн хөдөлгөөнд автдаг бол өндөр AQ-тай хүн ямар ч хүнд нөхцлийг сэтгэлийн хатаар давж лидер болдог.
4. CQ-creatiүe quotient. Бүтээлч чадварын илтгэцүүр нь өөрийн бүтээх чадвараа зөв танин мэдэж, шинийг сэтгэн бодож, бүтээх чадвараа байнга дээшлүүлэх чадварыг харуулдаг. Зохион бүтээгчид, шинийг эрэлхийлэгчид бүгд л багаасаа CQ өндөртэй байжээ. Хүний хамгийн их бүтээлч сэтгэлгээтэй үе бол хүүхэд нас. Иймд та хүүхдийнхээ бүтээлч сэтгэлгээг байнга урамшуулж, хөхүүлэн дэмжиж хөгжүүлж байх ёстой.
5. SQ-spiritual quotient. буюу оюун санааны хүч чадлын илтгэцүүр нь биеэ дайчилж зорьсондоо хүрэх сэтгэлийн зориг тэвчээрийг харуулдаг. SQ нь өөрийн мэдлэг туршлагаа мэргэн ухаан, азтай агшин болгон хувиргах сэтгэхүйн чадвар юм.
6. DQ-development quotient. Өөрийн бие бялдрын байдал онцлогийг тодорхой мэдэж, алхам алхмаар биеэ хөгжүүлэн зорьсон зорилгодоо хүрч амжилт гаргах чадварын илтгэцүүр. DQ өндөртэй хүн өөрийн биеийн онцлог ба чадварыг зөв үнэлж, тогтвортой, системтэй хичээллэх чадвартай болдог. Ялангуяа урлаг, спортын амжилт DQ-гээр дамжин илэрдэг.
7. MQ-moral quotient. Хүний нийгэмд өөрийгөө зохицуулж, үйлийнхээ хэм хэмжээг тогтоох чадвар. MQ өндөртэй хүн сайн мууг ялгах, бусдыг чин сэтгэлээсээ хайрлах чадвартай.
8. NQ-net quotient. Мэдээллийн сүлжээнд ажиллах чадварыг илэрхийлнэ. NQ бол орчин үед модонд орж байгаа нэр томьёо бөгөөд залуу үеийг боловсруулах практик модель. NQ нь мэдээлэлтэй харьцах чадвар болон мэдээллийн орчинд өөрийгөө захирах чадварыг хүүхдэд эзэмшүүлдэг.
9. BQ-bonding quotient. Эцэг эх үр хүүхдийн дотно харилцааны үзүүлэлт. Ялангуяа 0-7 насны хүүхэдтэй эцэг эхчүүд BQ өндөртэй байх хэрэгтэй. BQ өндөртэй эцэг эхчүүд өөрийн үр хүүхдэд онцгой халамж тавьдаг, хүүхдийнхээ онцлогийг мэдэх чадварыг эзэмшсэн байдаг. BQ өндөртэй хүүхэд өөртөө итгэлтэй сэтгэл хангалуун байх бөгөөд эцэг эхдээ улам дотноссоноор EQ нь өснө, хүүхдийн сэтгэл санаа тайван болж гадаад ертөнцийг сонирхсоноор IQ өснө, гэр бүлийн уур амьсгал халуун дулаан болсноор MQ өснө.
10. FQ-financial quotient. Хөрөнгө мөнгийг оновчтой захирах чадварыг илтгэх илтгэцүүр. Өндөр хөгжилтэй орны иргэд хүүхдийнхээ FQ-г дээшлүүлэхийн тулд ирээдүйн саятнуудын клубт хичээллүүлж, Монопол (саятан) зэрэг тоглоомуудыг багаас тоглуулдаг байна.

Бид дээр функцийг (х, у) хос тоонуудыг цуглуулга гэж ярьж байсан. Энэ хоёр тоог солиод, (у, х) гэсэн хос тоо гаргаж болохоор санагдаж байна. Бид энэ санааг энэ хичээлдээ улам дэлгэрvvлэн бодно.

Ямар ч - ийн хувьд, ху байхад f(x)f(y) бол f функцийг харилцан нэг утгатай (Х.Н.У) функц гэдэг.

Жишээ нь f(x)=х² функц Х.Н.У функц биш байна. Яагаад гэвэл (-1)²=(1)² байна. Ер нь тэгш функц болгон Х.Н.У функц биш болохлыг харж болно. Харин х² функцийн тодорхойлогдох мужыг єєрчлєєд Х.Н.У функц гарган авч болно: f(x) = { [0, ) дээр x² }. Х.Н.У функцvvдийг графикаас бvр амархан харж болно:

Цэнхэр функц Х.Н.У функц биш байна. (Хар шугам цэнхэр функцийг хоёр удаа огтолж байна.) Харин ногоон функц Х.Н.У функц байна. (Ногоон функц хар шугамыг яаж ч байсан нэгээс илvv огтлохгvй байна.)

Хэрвээ (b, a) хос тооны цуглуулга f функцийг бvрдvvлдэг бол (a, b) хос тооны цуглуулгыг f ^-1 гэж тэмдэглэдэг. Хэрвээ f ^-1 нь функц бол бид энэ функцийг f - ийн урвуу функц гэж уншдаг.

Теорем 17

Зєвхєн f нь Х.Н.У байхад л f ^-1 нь функц байна.

Баталгаа

f ^-1 - ийг функц гэж бодъё. f(b)=f(c) гэвэл f - д (b, f(b)), (c, f(c)) гэсэн хос тоонууд байна. (c, f(c))=(b, f(c)) болохлээр (f(b), b), (f(c), c) хос тоонууд нь f ^-1 - д байна. Бид f ^-1 - ийг функц гэж vзэж байгаа болохлээр b=c байна. b=c гэдэг маань f - ийг Х.Н.У функц байх ёстой гэж байна.

f ^-1 функцийн графикийг бид f функцийн графикийг g(x)=x функцийн график дээгvvр ойлгож зурж болдог (хос тоонуудыг нь сольж тавьдаг болохлээр).

Хэрвээ f ^-1 - ийн графикийг дахиад х дээгvvр ойлговол бид f функц дээрээ буцаад ирж байна. Тэгэхлээр (f ^-1)^-1=f байх нь. Энэ нь бас нэг чухал юм хэлж єгч байна. Урвуу функцийн урвуу функц нь функц юм чинь урвуу функц болгон Х.Н.У функц байна.

(a, b) нь f - д байхад, (b, a) нь f ^-1 - д байдаг билээ. Тэгэхлээр b = f(a), а = f ^-1(b) хоёр нь адилхан утгатай билээ. f ^-1(x) = y гэвэл f(y) = x байна. Тэгэхлээр

f(f ^-1(x))=x байна. (f ^-1 - ийн тодорхойлогдох муж дээр)
f ^-1(f(x))=x байна. (f - ийн тодорхойлогдох муж дээр)

Тодорхойлолт ёсоор, y=f(x) функцийн урвуу функцийг олохдоо бид x, y хоёрыг нь "сольчихдог". Тэгээд тэр тэнцэтгэлийнхээ у - г олно. Жишээ нь, y=(x-1)³ гэвэл энэ функцийн урвуу функц нь х=(у-1)³ байна. Тэгэхлээр
у-1=х^1/3, у=х^1/3+1 байна. Ерєнхийдєє ойлгомжтой болохлээр бид дараах хоёр теоремийг баталгаагvйгээр vлдээлээ:

Теорем 18

Хэрвээ f нэртэй Х.Н.У функц нь тодорхой завсар дээр тасралгvй бол f нь энэ завсар дээр нэг бол єсєж, нэг бол буурж байна. (Єсєх, буурах хоёрын аль нэг нь, хоёулаа биш.)

Теорем 19

Хэрвээ f нэртэй Х.Н.У функц нь тодорхой завсар дээр тасралтгvй бол f ^-1 нь бас тасралтгvй.

Дээрх теоремуудыг яагаад vнэн болохыг ингэж ойлгож болох юм (гэхдээ энэ бол баталгаа биш): 18-р теоремийн хувьд хараажаар ямарваа нэгэн функц нь єсєж (буурж) байж л "хавтгайрахаас" зайлсхийнэ. 19-р теоремийн хувьд, бид f функц дээр 13-р теоремийг ашиглаж болно. Хэрвээ f функц [a, b] дээр єсєж (буурж) байвал [f(a), f(b)] - д ямар ч "завсар зай" байхгvй. Тэгэхлээр f ^-1 функцийн тодорхойлогдох муж нь [f(a), f(b)] байна. Утгын муж нь мэдээж [a, b]. Энэ завсарт бас ямар ч "завсар зай" байхгvйг бид мэднэ (учир нь функцvvд маань эдгээр завсарууд дээр тасралтгvй.) Харин энэ теоремийг яг батлахын тулд бид яг хуучин хязгаарын , зэргийг ашиглах хэрэг гарна.

Одоо бид f ^-1 функц тасралтгvй болохыг мэдсэн болохлээр: уламжлал!

Теорем 20

Хэрвээ f нэртэй Х.Н.У функц нь тодорхой завсар дээр тасралтгvй, f ^-1(b) дээр уламжлалтай ба
(f ^-1(b)) 0 бол f ^-1 нь b дээр уламжлалтай ба
болно.

Баталгаа

(f ^-1(х)) = х болохыг бид мэднэ. 8-р теорем ёсоор

(1) (f ^-1(b)) (f ^-1)'(b) = 1

байна. Нэгдvгээрт, бид анхнаасаа (f ^-1(b)) 0 гэж хэлсэн. Бас f ^-1 нь тодорхой завсар дээр Х.Н.У функц болохлээр (f ^-1)' 0 байна. Тиймээс (1) тэнцэтгэл биелэнэ. Єєрєєр хэлбэл

Нэг юмийг ажиглавал, хэрвээ (f ^-1(b)) = 0 бол f ^-1 нь b дээр уламлалгvй байна. Итгэхгvй бол (1) - д дээрх илэрхийлэлийг оруулаад vз. :)

Урвуу функц дараа нь биднийг тригнометр, логрифмийн функцvvдийг vзээд эхлэхээр маш чухал болж ирнэ. Тэгэхлээр чухал биш юм шиг энэ хичээлийг тоохгvй орхиж болохгvй шvv! (Ялангуяа урвуу функцийн уламжлалыг санаж яваарай.)

Францын математикч Пьер Ферма 17-р зуунд "функцийг шvргэгч зураас" - ны хазайлтыг олох аргыг гаргасан билээ. Энэ арга нь Ньютонд "дефференциал тооллыг" нээхэд тусалсан гэдгийг Исак Ньютон єєрєє хэлсэн.

Дээрх зураг дээр g функцын график нь f функцийн графикийг "шvргэж" байгааг харж болно (нэг л цэг дээр шvргэнэ шvv!) Ямар нэгэн шугаман функц y = mx + b байхад хазайлт = m байдаг билээ. Тэгэхдээ бид одоохондоо g функцийг мэдэхгvй байгаа. Хэрвээ зєвхєн f мэдэгдэж байвал g - гийн m (хазайлт) - ийг яаж олох вэ?

Эхлээд g - г мэдэгдэж байхад яаж m - ийг олох тухай ярилцая. Энэ бодлогыг ингэж ойлгож болох юм:

Бид дундаж хурдыг олохын тулд туулсан зайг хугацаагаар хуваадаг билээ. Єєрєєр хэлбэл,

Хазайлт гэдэг нэрний учир нь m нь бас тухайн функцийн графикийг хэр зэрэг хазайж байгааг хэлдэг. Тэгэхлээр, хэрвээ a, b хоёр хоёулаа g - гийн тодорхойлогдох мужид байдаг бол

байна. Одоо буцаад шvргэгч зураасны хазайлтыг олох бодлоготоо оръё. Бид заавал тэр зураасны гэхгvй, тэрэнтэй ойролтоо зураасны хазайлтыг олж болно.

m₁ хазайлттай g₁ функцийг f(b) - ээс f(a) хvртэл татсан шулуун функц гэж тодорхойлвол бид m₁ - ийг олж чадна.

а нь b - ойртоод байвал (h багасаад байвал) g₁ функц g функцтэй адилхан болоод байна. Тээр! Тэгэхлээр h-->0 гэвэл m₁ = m болж байна. Одоо бид уламжлалыг тодорхойлоход бэлэн боллоо.

Хэрвээ а нь f - ийн тодорхойлогдох мужид багтаад,

хязгаар оршиж байвал энэ хязгаарыг f функцийн a цэг дээрх уламжлал гэж нэрлээд f '(а) гэж тэмдэглэдэг. Уламжлал олох vйлдэлийг дифференциалчлах vйлдэл гэнэ.

Хэрвээ f нь бvх тодорхойлогдох муж дээрээ уламжлалтай бол бид бvх уламжалуулдых нь цуглуулгыг нэг функц болгоод

гэж бичдэг.

Уламжлалыг заримдаа физикт "хєдєлгєєний агшин зуурын хурд " гэж ойлгодог. Бид бага ангид "Maшин 500 км газрыг 10 цагт туулсан бол ямар хурдтай явсан бэ?" г.м - ийн бодлогуудыг боддог байсан. Мэдээж бага ангийн хvvхдvvд энэ асуултанд 50 км/цаг гэж хариулна. Гэхдээ машин нь яг, тасралтгvйгээр 50 км/цаг хурдтай явж байсан гэдэг бол мэдээж худлаа. Нэг минутын ємнє 45 км/цаг, хоёр минутын дараа 52 км цагийн хурдтай явж байсан байж болно. Хэрвээ х - нь туулж єнгєрсєн цаг, у нь туулж єнгєрсєн газар бол бид машиний хєдєлгєєнийг ямар нэгэн функцээр илэрхийлж болно. (Одоохондоо энэ функцийг яаж олох нь гол нь биш. Тийм функц байдаг гэдэг нь чухал байна.) Энэ функцийн маань уламжлал бидэнд тухайн єгсєн цагт машин ямар хурдтай явж байсныг хэлж єгнє.

Теорем 2

Хэрвээ f(x) функц а дээр уламжлалтай бол, f нь а дээр тасралтгvй.

Баталгаа

Тасралтгvй функцийн тодорхойлолт ёсоор теорем маань батлагдав.

Нэг маш чухал юмийг анхааруулая: Теорем 2 нь урвуугаараа худлаа шvv! Ямар нэгэн функц "а" дээр тасралгvй байсан ч "а" дээр уламжлалтай байх албагvй. Энийг мартаж болохгvй! (Энэ хичээлийн дасгалууд дээр иймэрхvv функцvvдийн жишээ ол гэсэн бодлого байгаа.) Одоо хэдэн жишээ авч vзье.

y = c хэлбэрийн функцvvдийн уламжлал

y = cx хэлбэрийн функцvvдийн уламжлал

y = x² функцийн уламжлал

Функцийн уламжлал чинь бас л нэг функц. Тэгэхлээр функцийн уламжлалынх нь уламжлалыг авч болохоор харагдаж байна. ф(х) гэсэн функц байсан бол 2-р эрэмбийн уламжлалыг нь ф''(x) гэж тэмдэглэдэг. 3-р уламжлалыг ф'''(x), 4-р эрэмбийн уламжлалыг ф⁽⁴⁾(х), к-р эрэмбийн уламжлалыг ф^(к)(х) г.м... Тэмдэглэгээний тухай эндээс дэлгэрэнгvй vзээрэй.

Функцийн график нь уламжлалынхаа графиктай ямар нэгэн холбоо байна уу?

Энэ графикаас харвал f функц (-, 0) дээр буурж байхад сєрєг утгатай байна. f функц (0, ) дээр єсєж байхад эерэг утгатай байна. Бид иймэрхvv юмийг таамаглаж болох байсан. Яагаад гэхлээр уламжал маань функцvvдийн єсєлтийг хэлж єгдєг билээ. (Уламжлалыг тодорхойлдог хязгаарыг сайн ажиглавал энэ нь ойлгомжтой болно) Дараагийн зурагнаас энэ санаа бvvр тодорхой болох байх...

Энэ функцийг бид дараа дэлгэрэнгvй vзэх болно, гэхдээ одоохондоо функц ба функцийн уламжлал хоёр хоорондоо ямар холбоотой байдгийг ойлгохыг хичээгээрэй.

Функцийн хязгаар

Ньютон, Лебниц - ийн математикт (анализ) асар их чухал vvрэг гvйцэтгэдэг функцийн хязгаарын ухагтхуун нь нэлээд хэцvv сэдэвт орно. Иймээс бид хязгаарын жинхэнэ тодорхойлолтыг ойлгомжтой болгохын тулд одоохондоо тvр зуурын тодорхойлолт ашиглана. Тvр зуурынхаа тодорхойлолтоороо хязгаар гэж юу болох, юунд хэрэгтэй юм гэдгийг ойлгож авах байх гэж найдаад яриагаа эхлэе.

Тvр зуурын (яг нарийн биш) тодорхойлолт: Ямар нэгэн функц f нь "а" - гийн дэргэд хязгаар "L" - д ойртоно гэдэг маань: "х - г а - д хvрэлцэхvйц хэмжээгээр ойртуулснаар (гэхдээ х = а байж болохгvй), f(x) нь хязгаар L - д бидний хvссэн хэмжээгээр ойртоно." гэсэн vг юм.

Одоо хэдэн жишээ авч vзье:

Зураг 1

f нь а - гийн дэргэд L хязгаартай байна.

Зураг 2

Зураг 3

2-р зураг дээр f(a) = L нь худал болов ч, f нь а - гийн дэргэд L хязгаартай байна. Хэдийгээр 3-р зураг дээр f(a) (энэ функц биш, харин жирийн тоо болохыг анхаарна уу) нь тодорхойлогдоогvй ч, f нь а - гийн дэргэд L хязгаартай байна. Бидэнд f(а) хэд байх, ямар байх нь ерєєсєє хамаа байхгvй; "а" - д ойрхон х - vvдийн хувьд л f(x) нь L - д ойртож байвал боллоо. Давтая: f(a) чухал биш.

Хараажаар 4 - зураг дээр а - гийн дэргэд ямар ч хязгаар алга байна. Харин 5-р зураг дээр f - ийн а - гийн дэрэгдэх хязгаар нь L биш харин M байна. Эдгээр жишээнvvдийг сайн ойлгохгvй байгаа бол тvр зуурын тодорхойлолтоо олон дахин уншаарай.

Одоо зураг биш, жинхэнэ функц авч vзье.

гэе. Одоохондоо sin(x) функцийг vзэж эхлээгvй байгаа бол санаа битгий зов.

Дээрх зураг дээрээс ажиглавал х тэгд ойртох тусам f(x) нь тэгд ойртож байна. Єєрєєр хэлбэл x-->0 байвал f(x)-->0 байна.

Одоо ямар нэгэн тоо > 0 байлаа гэж бодъё. Энэ бол зvгээр л эерэг, бодит тоо (Грекийн "эпсилон" vсэгээр тэмдэглэгдсэн).

байдгийг санавал,

тэнцэтгэл бишийг хангахын тулд x < байхад хангалттай гэдэг нь харагдаж байна. нь ямар ч тоо байж болох байсан болохлээр тvрvvний бидний хийсэн ажиглалт vнэн гэдэг нь ойлгомжтой болж байна. Єєрєєр хэлбэл тоо багасах тусам (нойл - д ойртох тусам) f(x) бас багасаж байна. Тэгэхлээр f функцийн хязгаар нь 0 - ийн дэргэд 0 байна.

Бид хязгааруудыг

гэж тэмдэглэдэг. х - ийн оронд ямарч vсэг орлуулж болно. х нь энд f функцийн хувьсах хэмжэгдхvvнийг тодорхойлохоос єєр vvрэггvй байна.

Одоо жинхэнэ тодорхойлолтоо дурдая. Бидний анхны тодорхойлолт ингэж байсан:

гэдэг маань: "х - г а - д хvрэлцэхvйц хэмжээгээр ойртуулснаар (гэхдээ х = а байж болохгvй), f(x) нь хязгаар L - д бидний хvссэн хэмжээгээр ойртоно." гэсэн vг юм.

Нэгдvгээрт, "х-г а-д ойртуулна", "f(x) хязгаар L-д ойртоно" гэдэг маань "|x - a| - г багасгана", "|f(x) - L| багасана" гэсэнтэй адилхан билээ. Тэгэхлээр:

гэдэг маань: "|x - a| - г хvрэлцэхvйц хэмжээгээр багасгасанаар (), |f(x) - L| нь бидний хvссэн хэмжээгээр багасана." гэсэн vг юм.

Хоёрдугаарт, "|f(x) - L| нь бидний хvссэн хэмжээгээр багасана" гэдэг нь "Дурын тоо > 0 байхад, бид |f(x) - L| < байлгаж чадна" гэсэнтэй адилхан билээ. Єєрєєр хэлбэл, хичнээн бага байсан ч бид |f(x) - L| - г - ээс бага байлгаж чадна. Тиймээс:

гэдэг маань: "|x - a| - г хvрэлцэхvйц хэмжээгээр багасгасанаар (), дурын тоо > 0 байхад, бид |f(x) - L| < байлгаж чадна" гэсэн vг юм.

Єгєгдсєн тоо болгонд тохируулж бид |x - a| - г хvрэлцэхvйц хэмжээгээр багасгана гэдэг маань |x - a| < тэнцэтгэл бишийг хангах тоо (Грекийн "делта" vсгээр тэмдэглэв) олдоно гэсэн vг юм. Єгєгдсєн > 0 болгонд ямар нэгэн > 0 олдохыг, бас байгааг анхаарвал, бидний ЖИНХЭНЭ Функцийн Хязгаарын тодорхойлолт ингэж хэлэгдэнэ:

Дурын > 0 тоо сонгон авах бvрд 0 < |x - a| < тэнцэтгэл бишийг хангах бvх х - гийн хувьд |f(x) - L| < тэнцэтгэл биш биелж байхаар > 0 тоо олдож байвал L тоог f(x) функцийн а - гийн дэргэдэх хязгаар гэнэ.

Дээрхийг

гэж тэмдэглэдэг гэдгийг бид олон удаа дурьдсан билээ. Бас нэг юм давтаж хэлье: функцын хязгаарын ухагтхуун маш чухал бєгєєд одооноос эхэлж бидний хийх юм болгон vvнээс хамаарна. Чи дээрх тодорхойлолтыг бvр заавал мэдэх ёстой. Ойлгож ав. Ойлгосон ч, ойлгоогvй ч, vг бvрчлэн цээжилж ав. Энэ тодорхойлолтыг мэдэхгvй бол (эсгvй бол буруу хэлдэг бол) чи теорем батлахдаа алдаа гаргана. Дахиад давтая: Энийг сур, сур, бас дахин сур!

IQ тест бий болсон түүх. Өөрийгөө танин мэдье гэж эртний грекчүүд бидэнд гэрээсэлжээ. Эртний грекчүүдийн бодож байсанчлан ийм мэдлэг нэг их ашиг тустай бус хэдий ч орчин үеийн сэтгэл зүйчдийн үзсэнээр одоогийн ихэнхи хүмүүс өөрсдийнхөө бие хүний чанар, темперамент, оюун ухааны чадвар, зан араншин, авъяас чадвар гэх мэт зүйлийг юу юунаас илүүтэй сонирхож явдаг гэнэ. Оюуны хөгжлийн түвшинг тогтоох анхны тестүүд бүр 100-аад жилийн өмнө үүсчээ. Сэтгэл судлалын шинжлэх ухаан нь өөр хоорондоо адилгүй шинжлэх ухааны хо ёр салбарын дундаас төрсөн билээ. Асуудлуудыг хангалттай дэвшүүлсэн философийг эцэг нь гэвэл судалгааны аргаар хангаж өгсөн физиологийг эх нь гэж хэлж болно. Оюун ухааныг хэмжих талаар ихээхэн сонирхож байсан боловч төдийлөн сайн үр дүнд хүрч чаддаггүй байсан ажээ. IQ-intelligence quotient буюу монголоор оюуны илтгэцүүр, оюун ухааны коэффициент гэсэн нэр томьёо ойлголтыг сэтгэлзүйн шинжлэх ухаанд анхлан Францын сэтгэл судлаач, сурган хүмүүжүүлэгч Альфред Бине оруулж ирсэн түүхтэй. Оюун ухааны үйл ажиллагаа, түүний чадварыг тэдгээрийн ажиллагааг, илрүүлж чадахуйц тестээр хэмжих хэрэгтэй гэдэг нь хамгийн зөв бөгөөд энгийн зам байлаа. 1914 онд Францын боловсролын яамнаас оюуны хөгжлөөр хоцрогдсон хүүхдийн боловсролын асуудлааар тусгай комисс томилж, энэ зорилгоор Бине анхны тестүүдийг боловсруулжээ. IQ нь хүний оюуны чадварыг илэрхийлэх тоон үзүүлэлт бөгөөд гоц авьяас чадвар, оюуны хөгжлийн түвшин, сэтгэх чадварыг харуулдаг. Францын засгийн газар уг эрдэмтэнд оюуны чадвар сул хүүхдийг нийгмээс ялган тусгаарлах үүрэг өгч үүний үндсэн дээр IQ тест зохиогдсон. Тэрээр өөрийн тестээр хамгийн муу сурлагатай гэсэн 50 хүүхдийг тус орны өнцөг булан бүрээс сонгон авч сургасан. Хоёр жилийн дараа түүний сургасан хүүхдүүд бусад хүүхдүүдээс дутахгүй ухаантай онц сайн сурдаг болсон билээ. Эндээс Бине нэг дүгнэлт хийсэн нь аливаа хүний төрөлхийн өгөгдөхүүн ерөнхийдөө ижил бөгөөд сайн муу сурах нь сурах арга барил болон багшийн заах арга барилаас шалтгаалах явдал гэсэн. Түүний IQ тест энэ үеэс эхлэн дэлхийн олон оронд түгэж ихээхэн нэр хүндтэй болсноор барахгүй анхлан гарч байсан зорилго нь өөрчлөгдөж хүний ухаантай эсэхийг нь шалган тогтоодог гол хэмжүүр болсон байна. Бинегийн тест буй болсны дараа 1916 онд АНУ-ын Станфордын их сургуулийн профессор Левис Терман хүний IQ-г коэффициентээр илэрхийлэх аргыг олжээ. IQ тестийг зохиохдоо хүнд байдаг ерөнхий гол чадваруудыг хамарсан бодлого дасгалуудыг оруулдаг. Жишээлбэл: * логиктой сэтгэх чадвар * хэл ярианы чадвар буюу вербал сэтгэлгээ * асуудлыг шийдэх болон бүтээлч чадвар * орон зай, өнгө дүрсний буюу визуал сэтгэлгээ гэсэн дөрвөн гол чадварыг шалгаж IQ г тогтоодог. IQ тест нь оюуны чадварыг бодитой тогтоодог. Таны тестэнд үзүүлсэн IQ оноо хэр бодитойгийн тухай авч үзэе. Шулуухан хэлэхэд эхнээсээ л шүүмжлэлтэй байнга тулгардаг зүйл гэвэл энэ л байх. Оюун ухааны мөн чанарын тухай үзэл бодлын зөрөө мэргэжлийн бус хүмүүсийн дунд мэргэжлийн хүмүүсийнхээс их байдаг. Оюун ухааны төвшинг үнэлдэг хэмжүүр үнэхээрийн байдаг юм бол тест ямар ч хэрэггүй байхсан гэж тэдэнд хандаж хэлмээр байна. Оюуны өндөр хөгжилтэй хүмүүс бусад хүмүүстэй зэрэгцэн суугаад ухаан шаардсан дасгал даалгавруудыг илүү сайн боддог гэдэгтэй бүгд санал нийлэх байх. Тухайлбал шинэ зүйл сурахтай холбоотой бүх үйл цоо шинэ баримт зарчмуудыг сэтгэн гаргах, түүнийгээ шинэ нөхцөл байдалд уялдуулан хэрэглэх гарт байгаа баримтыг нэгтгэн зүй тогтлыг илрүүлэх гэхи мэтийн оюуны үйлдлүүдийг нэрлэж болно. Эдгээр чадварууд сурах үйл ажиллагаанд зайлшгүй хэрэгтэй. Суралцагчийн хэр амжилттай сурсныг шалгалт авч тодорхойлдог. Шалгалтанд хэр амжилттай дүн үзүүүлэх нь олон хүчин зүйлсээс шалтгаалах боловч шалгалтанд үзүүлж байгаа дүн ба IQ-ийн хооронд шууд хамааралтай байдаг байна. Хэрэв ийм хамаарал байгаагүй бол IQ тест авч дараа нь тэднийг төгсөх үеийн амжилттай нь харьцуулах судалгааг олон жилийн туршид хийсний дүнд сайн дүнтэй төгсөж байгаа төгсөгчийн анх дээд сургуульд элсэж байх үеийн IQ тестийн оноо, сайн дүнтэй төгсөж чадаагүй төгсөгчийнхөөс 10 нэгжэээр өндөр, дипломтой төгсөгчийнх дипломгүй төгсөгчийнхөөс 15 нэгжээр өндөр байдгийг тогтоожээ. IQ нь 115 хүрээгүй хүүхэд чанартай дээд сургуульд элсэж чадсан тохиолдол бараг байхгүй байв(АНУ-д хийгдсэн судалгаагаар). Энэ бол IQ тест хүний жинхэнэ оюуны чадварыг амжилттай хэмжиж чадаж байгааг харуулж байна. Ярилцлагын арга хэрэглэн сонгон шалгаруулалт хийх нь тийм ч шилдэг сайн арга биш. Туршлагатай шалгагчдын IQ тест хэрэглэхгүйгээр хийсэн урьдчилсан дүгнэлт субъектив агуулга ихтэйгээсээ болж тэр бүр онож чаддаггүй нь олон удаа нотлогджээ. Сурагчийг дунд сургуулийн багш нь л жинхэнэ зөв дүгнэж чадна гэж олон хүмүүс ярьдаг. Үнэхээрийн сурагчдын IQ тестэнд авсан оноо ба багшийн үнэлгээ хоёр нилээн ойролцоо байдаг байна. IQ тестийн үзүүлэлт нь багшийн үнэлгээ болон шалгалтанд авсан оноотой зөрж байгаа тохиолдлуудыг сонирхож үзэхдээ дараахи хэдэн хүчин зүйлийг тооцох хэрэгтэй. Сурагчдын авъяас чадварын тухай багшийн дүгнэлт нь тухайн багшийн заадаг хичээлээс ихэнхидээ хамаардаг. Баяр гэдэг хүүхэд хэлэнд сонирхолтой, англи хэлний хичээлдээ онц дүн авдаг учраас англи хэлний багш түүнийг өндрөөр үнэлнэ., гэвч Баяр математикт дургүй учраас математикийн багш түүнийг чадвар султай гэж дүгнэнэ. Гэтэл Баяртай адилхан IQ-тэй Цэнгэлийн хувьд бүх зүйлс эсрэгээр, Цэнгэл тоо бодох дуртай харин хэлэнд дургүй. IQ тест нь иймэрхүү субъектив үнэлгээнээс зайлсхийхэд тустай. Суралцагч оюун ухаан муутайдаа биш харин тэвчээртэй ном үзэн сууж сураагүйгээсээ болж шалгалтанд муу дүн үзүүлж болно. Хүний тэвчээр, шаргуу зан оюуны чадвараас үл хамаарна. IQ тестэнд хувь хүний эдгээр чанарыг шалгадаггүй. Энэ нь халууны шилээр хүний биеийн өндөр, жин, даралтыг хэмжиж болдоггүйтэй адил юм. Хүүхдийн оюуны чадвар, тэвчээртэй шаргуу зан, сэтгэлээр унадаггүй өөдрөг байдал гэсэн 3 чанарыг зэрэг шалгадаг тест байдаг гэж үзье. Хэрэв Баярын оноо энэ тестээр 90 г арчээ гэж үзвэл Баяр оюун ухааны хөгжлийн хувьд бага зэрэг хоцорсон, тэвчээр сайтай, сэтгэл санаагаар унахдаа ховор гэх юм уу аль эсвэл Баяр оюуны хөгжил сайтай, гэвч хэт мэдрэмтгий, тэвчээр муутай гэх мэтийн таамаг хэлж болох байлаа. Гэвч эдгээр 3 чанарыг тус тусад нь шалгасан нь хавьгүй илүү үр дүнтэй. IQ тестийн дүн бусад үнэлгээтэй зөрөх бас нэг шалтгаан нь дур сонирхолтой холбоотой. Морийг ус руу хөтөлж авчирч болох боловч ус уулгах хэцүү байдагтай адил хүүхдийг хичээлд суулгаж болох боловч юм сургах бас л хэцүү. Тестийг эсэргүүцэн шүүмжлэгчид Уинстон Черчилл дунд сургуульд муу сурдаг байсан, тэрээр IQ тестэнд өөдтэй дүн авахгүй л байсан байх, гэтэл Черчиллийн амьдралдаа хийсэн ахиц дэвшил нь IQ тест ямар ч хэрэггүй гэдгийг баталж байна гэцгээдэг. Хэдийгээр Черчилл ямар ч тест өгөөгүй, тест өгсөн бол ямар үзүүлэлт гарах байсныг бид мэдэхгүй боловч тэр нөхдүүдийн үзэж байгаагаар Черчилл боловсрол эзэмших гэж чадах ядахаараа зүтгэж байсан гэнэ. Түүний намтрыг уншаад үзэхэд байдал шал эсрэгээр байсан гэдэг юм билээ. Ер нь оюуны хөгжлөөр бусдаас түрүүлсэн хүүхдүүд дунд зэргийн хүүхдүүдэд зориулсан хичээлээс залхаж, өөрийн сонирхсон зүйлдээ л анхаарлаа төвлөрүүлдэг. Тийм хүүхдүүд шалгалтан дээр өөдтэй дүн үзүүлдэггүй боловч хэрэгцээ шаардлага тулгарангуут алдсанааа тэр дор нь нөхөн авч чаддаг. Ийм байдал амьдрал дээр үргэлж байдаггүй ч сэдэл дутагдсанаас юм уу аль эсвэл сэдэл байхгүй байснаас амжилтанд хүрч чадаагүй авъяас чадвартай хүмүүс хаа сайгүй тааралддаг билээ. Сурлагын амжилт ба IQ хоёрын зөрөөний ийм хэдэн шалтгаан байж болох боловч өөрийнхөө дотоод нөөц бололцоогоо бүрэн ашиглахад саад болдог бусад шалтгаанууд байдаг. Их өндөр IQ-тэй боловч дээд сургуулиа төгсөж чадаагүй оюутнуудаас бид цөөн хэдийг таамгаар сугалан авч үзсэн. Оюутан Т-ийн IQ 142, шалгалтандаа олон удаа унасан. Түүний эцэг нас барсан учир ээж дүү хоёроо тэжээж, өөрийнхөө сургалтын төлбөрийг олохын тулд шөнийн цагаар ажилладаг байв. Хичээлээ давтах, амрах цаг түүнд бараг байсангүй. Оюутан Д-ийн IQ – 146 Тэр онц сурдаг байсан боловч гар утас хулгайлсан хэрэгт сэжиглэгдэж сургуулиас хөөгджээ. Иймэрхүү жишээ маш олныг дурдаж болно. IQ багатай зарим хүмүүс сайн сурах тохиолдлууд байдаг. Гэвч тэд өндөр амжилт гаргах нь маш ховор. Оюуны чадвар сайтай байх нь амжилттай сурахын зайлшгүй нөхцөл, түүнийг бусад ямар ч чанар орлож чадахгүй. Гэхдээ хүрэлцээтэй нөхцөл биш, оюуны өндөр чадвартай хүн өөрийн хувийн чанараас болох юм уу аль эсвэл амьдралын олон нугачааны дунд алдаж авъяас чадвараа ашиглаж чадахгүй үрэгдэж болно. Хүний оюуны чадвараас бусад чанарын заримыг огт хэмжиж болдоггүй, заримыг нь зөвхөн ойролцоогор хэмжиж болдог. Энэ бүх шалтгаанууд нийлээд IQ тестийн урьдчилдан таамаглах ач хологдлыг бууруулж байгаа юм. Зарим хүн сурагчийн оюуны чадварыг IQ тест биш харин зөвхөн багш нар нь л зөв үнэлж чадна гэдэг. Үгүй гэж хариулъя. АНУ-ын зэвсэгт хүчинд IQ тест болон бусад чадварын тестийг нэт хэсэг өргөнөөр ашиглаж байв. АНУ-д бүр Дэлхийн I дайны үеэс Бинегийн тестийг эхлээд ганцаарчилсан хэлбэрээр ашиглаж байв. Эдгээр тестийн гол зорилго нь чадвар сайтай, цэргийн албан хаагчдаас офицерүүдийг сонгон шалгаруулж сургах байлаа. Үр дүн нь хэний ч нүдэнд ил байсан учраас барууны бүх орнуудад тестийг хэрэглэж эхэлжээ. Одоо ч гэсэн цэргийн янз бүрийн мэргэжилтнүүдийг сонгон шалгаруулахдаа тестийн аргыг хэрэглэж байна. Нисэгчдийг бэлтгэх сургуульд IQ тестээс гадна өөр бас тестүүд хэрэглэдэг байсныг дурдая. Нэгэн судалгааг Дэлхийн II дайны үед АНУ-д хйисэн байна. Энэ судалгаанд тестэнд 140-өөс дээш оноо авсан цэргийн албан хаагчдаас 90% нь офицер болсон, 110-аас доош оноо авсан албан хаагчдаас 50 хүрэхгүй хувь нь офицер болсон байв. Нисэгчдийг бэлтгэх сургуулийн 9-р зэрэглэл буюу хамгийн өндөр оноо авсан албан хаагчдын 4% нь нисэгч болж чадаагүй байхад 1-р зэрэглэл буюу хамгийн бага оноо авсан албан хаагчдын 77% нь нисэгч болж чадаагүй байна. Эндээс үзэхэд тестэнд үзүүлсэн оноо ихсэх тусам амжилт гаргах магадлал өндөр болж байна. Энд харагдаж байгаа зүй тогтол гүнзгий сэтгэгдэл төрүүлж байгаа байх, гэвч зарим хэрсүү уншигч яагаад зарим нэгэн газар зөрөөтэй байдал ажиглагдаад байгаагийн учрыг гайхаж байж магадгүй. Шалгуур, тест хоёр уялдаж байхын тулд аль аль нь ямар ч дутагдалгүй байх ёстой. Дээрхи хоёр судалгаанд эхнийхэд нь офицер болж чадах эсэх, хоёр дахид нь нисэгч болж чадах эсэх гэсэн хоёр өөр амжиллтын шалгуурууд байлаа. Эдгээр шалгуурууд төгс биш бөгөөд ихээхэн дутагдалтай гэдгийг хялбархан баталж болно. Жишээлбэл, цэргийн албан хаагч офицерийн шалгаруулалтын нэг комиссоор ороод тэнцэж байхад өөр нэг комиссоор ороод тэнцэхгүй байж болно. Түүнчлэн нисэхийн сонсогч нэг хүнийг дагалдаад амжилттай сурдаг, өөр хүнийг дагалдахаараа муу сурдаг байж болно. Гэх мэтчилэн бусад хүчин зүйлсийг дурдаад байж болох боловч мэргэжлийн хэт их нэр томъёо орчих гээд байна. Ер нь нарийн судалгаануудаас үзэхэд шалгуур тест хоёр уялдахгүй байгаагийн шалтгаан нь ихэнхидээ тестэнд биш, харин үнэлгээний шалгуурт байдаг ажээ. Ийнхүү IQ тест цэргийн салбарт ч үр дүнгээ өгч байна. Цэргийн дарга, нисгэгч нарт оюуны чадвараас гадна өөр олон чадвар зайлшгүй хэрэгтэй боловч анхдагч шалгаруулалт хийхэд IQ тест үнэхээрийн үнэлж баршгүй ач холбогдолтой болох нь батлагджээ.

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10= 1111111111

1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111=12345678987654321